Selesaikan 24x^2+46x+24=0

$$24 { x }^{ 2 } +46x+24=0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24}\approx -0.958333333+0.285652275i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}\approx -0.958333333-0.285652275i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$24x^{2}+46x+24=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 24 dengan a, 46 dengan b dan 24 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Kuasa dua 46.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Darabkan -4 kali 24.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-96\times 24}}{2\times 24}$$

Darabkan -96 kali 24.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2304}}{2\times 24}$$

Tambahkan 2116 pada -2304.

$$x=\frac{-46±\sqrt{-188}}{2\times 24}$$

Ambil punca kuasa dua -188.

$$x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{2\times 24}$$

Darabkan 2 kali 24.

$$x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{48}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{48} apabila ± ialah plus. Tambahkan -46 pada 2i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-46+2\sqrt{47}i}{48}$$

Bahagikan -46+2i\sqrt{47} dengan 48.

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{48} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{47} daripada -46.

$$x=\frac{-2\sqrt{47}i-46}{48}$$

Bahagikan -46-2i\sqrt{47} dengan 48.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24} x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+46x+24=0$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$24x^{2}+46x+24-24=-24$$

Menolak 24 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$24x^{2}+46x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$\frac{24x^{2}+46x}{24}=-\frac{24}{24}$$

Membahagi dengan 24 membuat asal pendaraban dengan 24.

$$x^{2}+\frac{46}{24}x=-\frac{24}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{46}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x=-\frac{24}{24}$$

Bahagikan -24 dengan 24.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x=-1$$

Bahagikan \frac{23}{12} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{23}{24}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{23}{24} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x+\left(\frac{23}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{23}{24}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{23}{24} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x+\frac{529}{576}=-1+\frac{529}{576}$$

Tambahkan -1 pada \frac{529}{576}.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x+\frac{529}{576}=-\frac{47}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{23}{12}x+\frac{529}{576}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{24}\right)^{2}=-\frac{47}{576}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{24}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{576}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{23}{24}=\frac{\sqrt{47}i}{24} x+\frac{23}{24}=-\frac{\sqrt{47}i}{24}$$

Tolak \frac{23}{24} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24} x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}$$