Selesaikan 24x^2+10x-21

$$24 { x }^{ 2 } +10x-21$$

Faktor

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 24x^{2}+ax+bx-21. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=10 ab=24\left(-21\right)=-504$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -504.

$$-1,504 -2,252 -3,168 -4,126 -6,84 -7,72 -8,63 -9,56 -12,42 -14,36 -18,28 -21,24$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+504=503 -2+252=250 -3+168=165 -4+126=122 -6+84=78 -7+72=65 -8+63=55 -9+56=47 -12+42=30 -14+36=22 -18+28=10 -21+24=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 10.

$$a=-18 b=28$$

Tulis semula 24x^{2}+10x-21 sebagai \left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right).

$$\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right)$$

Faktorkan 6x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$6x\left(4x-3\right)+7\left(4x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+10x-21=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Kuasa dua 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Darabkan -4 kali 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Darabkan -96 kali -21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+2016}}{2\times 24}$$

Tambahkan 100 pada 2016.

$$x=\frac{-10±\sqrt{2116}}{2\times 24}$$

Ambil punca kuasa dua 2116.

$$x=\frac{-10±46}{2\times 24}$$

Darabkan 2 kali 24.

$$x=\frac{-10±46}{48}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±46}{48} apabila ± ialah plus. Tambahkan -10 pada 46.

$$x=\frac{36}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{36}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±46}{48} apabila ± ialah minus. Tolak 46 daripada -10.

$$x=-\frac{56}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{-56}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=-\frac{7}{6}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{3}{4} dengan x_{1} dan -\frac{7}{6} dengan x_{2}.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{6}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Tolak \frac{3}{4} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Tambahkan \frac{7}{6} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{6x+7}{6}$$

Darabkan \frac{4x-3}{4} dengan \frac{6x+7}{6} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{4\times 6}$$

Darabkan 4 kali 6.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{24}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 24 dalam 24 dan 24.

$$24x^{2}+10x-21=\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Nilaikan

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$