Selesaikan 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Selesaikan untuk k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 12k^{2}+ak+bk+12. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 25.

$$a=9 b=16$$

Tulis semula 12k^{2}+25k+12 sebagai \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Faktorkan 3k dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4k+3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4k+3=0 dan 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 24 dengan a, 50 dengan b dan 24 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Kuasa dua 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Darabkan -4 kali 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Darabkan -96 kali 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Tambahkan 2500 pada -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Ambil punca kuasa dua 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Darabkan 2 kali 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{-50±14}{48} apabila ± ialah plus. Tambahkan -50 pada 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{-36}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{-50±14}{48} apabila ± ialah minus. Tolak 14 daripada -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Kurangkan pecahan \frac{-64}{48} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Menolak 24 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Membahagi dengan 24 membuat asal pendaraban dengan 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{50}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Bahagikan -24 dengan 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Bahagikan \frac{25}{12} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{25}{24}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{25}{24} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{25}{24} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Tambahkan -1 pada \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Faktor k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Permudahkan.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Tolak \frac{25}{24} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$