Selesaikan 24+5x-x^2=0

$$24 + 5 x - x ^ { 2 } = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-3$$

$$x=8$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx+24. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=8 b=-3$$

Tulis semula -x^{2}+5x+24 sebagai \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan -3 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-8=0 dan -x-3=0.

$$x=8 x=-3$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 5 dengan b dan 24 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 25 pada 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±11}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Bahagikan 6 dengan -2.

$$x=-3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±11}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada -5.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Bahagikan -16 dengan -2.

$$x=8$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-3 x=8$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x^{2}+5x+24-24=-24$$

Menolak 24 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-x^{2}+5x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Bahagikan 5 dengan -1.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

Bahagikan -24 dengan -1.

$$x^{2}-5x=24$$

Bahagikan -5 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Tambahkan 24 pada \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=8 x=-3$$