Selesaikan 23x^2+45x-2

$$23 x ^ { 2 } + 45 x - 2$$

Faktor

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 23x^{2}+ax+bx-2. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=45 ab=23\left(-2\right)=-46$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -46.

$$-1,46 -2,23$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+46=45 -2+23=21$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 45.

$$a=-1 b=46$$

Tulis semula 23x^{2}+45x-2 sebagai \left(23x^{2}-x\right)+\left(46x-2\right).

$$\left(23x^{2}-x\right)+\left(46x-2\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(23x-1\right)+2\left(23x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 23x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$23x^{2}+45x-2=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 23\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

Kuasa dua 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 23\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

Darabkan -4 kali 23.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-92\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

Darabkan -92 kali -2.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+184}}{2\times 23}$$

Tambahkan 2025 pada 184.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2209}}{2\times 23}$$

Ambil punca kuasa dua 2209.

$$x=\frac{-45±47}{2\times 23}$$

Darabkan 2 kali 23.

$$x=\frac{-45±47}{46}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-45±47}{46} apabila ± ialah plus. Tambahkan -45 pada 47.

$$x=\frac{2}{46}$$

Kurangkan pecahan \frac{2}{46} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{1}{23}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-45±47}{46} apabila ± ialah minus. Tolak 47 daripada -45.

$$x=-\frac{92}{46}$$

Bahagikan -92 dengan 46.

$$x=-2$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{1}{23} dengan x_{1} dan -2 dengan x_{2}.

$$23x^{2}+45x-2=23\left(x-\frac{1}{23}\right)\left(x-\left(-2\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$23x^{2}+45x-2=23\left(x-\frac{1}{23}\right)\left(x+2\right)$$

Tolak \frac{1}{23} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$23x^{2}+45x-2=23\times \frac{23x-1}{23}\left(x+2\right)$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 23 dalam 23 dan 23.

$$23x^{2}+45x-2=\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

Nilaikan

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$