Selesaikan 21x^2-x-2

$$21 { x }^{ 2 } -x-2$$

Faktor

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 21x^{2}+ax+bx-2. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=21\left(-2\right)=-42$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-7 b=6$$

Tulis semula 21x^{2}-x-2 sebagai \left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right).

$$\left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right)$$

Faktorkan 7x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$7x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}-x-2=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Darabkan -4 kali 21.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Darabkan -84 kali -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2\times 21}$$

Tambahkan 1 pada 168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2\times 21}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2\times 21}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±13}{2\times 21}$$

Darabkan 2 kali 21.

$$x=\frac{1±13}{42}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±13}{42} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 13.

$$x=\frac{14}{42}$$

Kurangkan pecahan \frac{14}{42} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 14.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±13}{42} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada 1.

$$x=-\frac{12}{42}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{42} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{2}{7}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{1}{3} dengan x_{1} dan -\frac{2}{7} dengan x_{2}.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{7}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Tolak \frac{1}{3} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Tambahkan \frac{2}{7} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{7x+2}{7}$$

Darabkan \frac{3x-1}{3} dengan \frac{7x+2}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{3\times 7}$$

Darabkan 3 kali 7.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{21}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 21 dalam 21 dan 21.

$$21x^{2}-x-2=\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Nilaikan

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$