Selesaikan 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1.434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0.034846923$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 20 dengan a, -28 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kuasa dua -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Darabkan -4 kali 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Darabkan -80 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Tambahkan 784 pada 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Ambil punca kuasa dua 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Nombor bertentangan -28 ialah 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Darabkan 2 kali 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} apabila ± ialah plus. Tambahkan 28 pada 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Bahagikan 28+12\sqrt{6} dengan 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} apabila ± ialah minus. Tolak 12\sqrt{6} daripada 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Bahagikan 28-12\sqrt{6} dengan 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Menolak -1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Tolak -1 daripada 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Membahagi dengan 20 membuat asal pendaraban dengan 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Kurangkan pecahan \frac{-28}{20} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Bahagikan -\frac{7}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{10}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{10} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{10} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Tambahkan \frac{1}{20} pada \frac{49}{100} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Tambahkan \frac{7}{10} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$