Selesaikan 20x^2-11x-3=0

$$20 x ^ { 2 } - 11 x - 3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 20x^{2}+ax+bx-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-11 ab=20\left(-3\right)=-60$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -11.

$$a=-15 b=4$$

Tulis semula 20x^{2}-11x-3 sebagai \left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right)$$

Faktorkan 5x dalam 20x^{2}-15x.

$$5x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-3\right)\left(5x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4x-3=0 dan 5x+1=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$20x^{2}-11x-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 20 dengan a, -11 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Kuasa dua -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Darabkan -4 kali 20.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Darabkan -80 kali -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 20}$$

Tambahkan 121 pada 240.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 20}$$

Ambil punca kuasa dua 361.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 20}$$

Nombor bertentangan -11 ialah 11.

$$x=\frac{11±19}{2\times 20}$$

Darabkan 2 kali 20.

$$x=\frac{11±19}{40}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{11±19}{40} apabila ± ialah plus. Tambahkan 11 pada 19.

$$x=\frac{30}{40}$$

Kurangkan pecahan \frac{30}{40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=\frac{3}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{11±19}{40} apabila ± ialah minus. Tolak 19 daripada 11.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Kurangkan pecahan \frac{-8}{40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-11x-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$20x^{2}-11x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Menolak -3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$20x^{2}-11x=-\left(-3\right)$$

Tolak -3 daripada 0.

$$20x^{2}-11x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$\frac{20x^{2}-11x}{20}=\frac{3}{20}$$

Membahagi dengan 20 membuat asal pendaraban dengan 20.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x=\frac{3}{20}$$

Bahagikan -\frac{11}{20} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{40}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{40} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{3}{20}+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{40} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{3}{20}+\frac{121}{1600}$$

Tambahkan \frac{3}{20} pada \frac{121}{1600} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{361}{1600}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{361}{1600}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{1600}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{11}{40}=\frac{19}{40} x-\frac{11}{40}=-\frac{19}{40}$$

Tambahkan \frac{11}{40} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$