Selesaikan 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

Selesaikan untuk p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 6 daripada kedua-dua belah.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Tolak 6 daripada 16 untuk mendapatkan 10.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 20p^{2}+ap+bp+10. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 33.

$$a=8 b=25$$

Tulis semula 20p^{2}+33p+10 sebagai \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right).

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

Faktorkan 4p dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5p+2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5p+2=0 dan 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

Menolak 6 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Tolak 6 daripada 16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 20 dengan a, 33 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Kuasa dua 33.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Darabkan -4 kali 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

Darabkan -80 kali 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

Tambahkan 1089 pada -800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Ambil punca kuasa dua 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

Darabkan 2 kali 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{-33±17}{40} apabila ± ialah plus. Tambahkan -33 pada 17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

Kurangkan pecahan \frac{-16}{40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{-33±17}{40} apabila ± ialah minus. Tolak 17 daripada -33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

Kurangkan pecahan \frac{-50}{40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

Menolak 16 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

Tolak 16 daripada 6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

Membahagi dengan 20 membuat asal pendaraban dengan 20.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{20} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

Bahagikan \frac{33}{20} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{33}{40}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{33}{40} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{33}{40} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

Tambahkan -\frac{1}{2} pada \frac{1089}{1600} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Faktor p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Permudahkan.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

Tolak \frac{33}{40} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$