Selesaikan 20n^2-7n-3

$$20 n ^ { 2 } - 7 n - 3$$

Faktor

$$\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 20n^{2}+an+bn-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=20\left(-3\right)=-60$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-12 b=5$$

Tulis semula 20n^{2}-7n-3 sebagai \left(20n^{2}-12n\right)+\left(5n-3\right).

$$\left(20n^{2}-12n\right)+\left(5n-3\right)$$

Faktorkan 4n dalam 20n^{2}-12n.

$$4n\left(5n-3\right)+5n-3$$

Faktorkan sebutan lazim 5n-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$20n^{2}-7n-3=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Kuasa dua -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Darabkan -4 kali 20.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Darabkan -80 kali -3.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+240}}{2\times 20}$$

Tambahkan 49 pada 240.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Ambil punca kuasa dua 289.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±17}{2\times 20}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$n=\frac{7±17}{2\times 20}$$

Darabkan 2 kali 20.

$$n=\frac{7±17}{40}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{7±17}{40} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 17.

$$n=\frac{24}{40}$$

Kurangkan pecahan \frac{24}{40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$n=\frac{3}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{7±17}{40} apabila ± ialah minus. Tolak 17 daripada 7.

$$n=-\frac{10}{40}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$n=-\frac{1}{4}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{3}{5} dengan x_{1} dan -\frac{1}{4} dengan x_{2}.

$$20n^{2}-7n-3=20\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$20n^{2}-7n-3=20\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n+\frac{1}{4}\right)$$

Tolak \frac{3}{5} daripada n dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$20n^{2}-7n-3=20\times \frac{5n-3}{5}\left(n+\frac{1}{4}\right)$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada n dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$20n^{2}-7n-3=20\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{4n+1}{4}$$

Darabkan \frac{5n-3}{5} dengan \frac{4n+1}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$20n^{2}-7n-3=20\times \frac{\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)}{5\times 4}$$

Darabkan 5 kali 4.

$$20n^{2}-7n-3=20\times \frac{\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)}{20}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 20 dalam 20 dan 20.

$$20n^{2}-7n-3=\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)$$

Nilaikan

$$\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)$$