Selesaikan 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 20x^{2}+ax+bx-1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-5 b=4$$

Tulis semula 20x^{2}-x-1 sebagai \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Faktorkan 5x dalam 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4x-1=0 dan 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 20 dengan a, -1 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Darabkan -4 kali 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Darabkan -80 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Tambahkan 1 pada 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Ambil punca kuasa dua 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Darabkan 2 kali 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±9}{40} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Kurangkan pecahan \frac{10}{40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±9}{40} apabila ± ialah minus. Tolak 9 daripada 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Kurangkan pecahan \frac{-8}{40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Menolak -1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Tolak -1 daripada 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Membahagi dengan 20 membuat asal pendaraban dengan 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Bahagikan -\frac{1}{20} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{40}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{40} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{40} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Tambahkan \frac{1}{20} pada \frac{1}{1600} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Tambahkan \frac{1}{40} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$