Selesaikan 2z^2-5z=12

$$2 z ^ { 2 } - 5 z = 12$$

Selesaikan untuk z

$$z = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$z=4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 12 daripada kedua-dua belah.

$$2z^{2}-5z-12=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2z^{2}+az+bz-12. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-8 b=3$$

Tulis semula 2z^{2}-5z-12 sebagai \left(2z^{2}-8z\right)+\left(3z-12\right).

$$\left(2z^{2}-8z\right)+\left(3z-12\right)$$

Faktorkan 2z dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$2z\left(z-4\right)+3\left(z-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim z-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(z-4\right)\left(2z+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan z-4=0 dan 2z+3=0.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2z^{2}-5z=12$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2z^{2}-5z-12=12-12$$

Menolak 12 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2z^{2}-5z-12=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -5 dengan b dan -12 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -5.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -12.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Tambahkan 25 pada 96.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$z=\frac{5±11}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$z=\frac{5±11}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{5±11}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 11.

$$z=\frac{16}{4}$$

Bahagikan 16 dengan 4.

$$z=4$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{5±11}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada 5.

$$z=-\frac{6}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-6}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-5z=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2z^{2}-5z}{2}=\frac{12}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z=\frac{12}{2}$$

Bahagikan 12 dengan 2.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z=6$$

Bahagikan -\frac{5}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Tambahkan 6 pada \frac{25}{16}.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Permudahkan.

$$z-\frac{5}{4}=\frac{11}{4} z-\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$