Selesaikan 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Selesaikan untuk z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0.5+1.5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0.5-1.5i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -2 dengan b dan 5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Tambahkan 4 pada -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{2±6i}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Bahagikan 2+6i dengan 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{2±6i}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 6i daripada 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Bahagikan 2-6i dengan 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Menolak 5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan -2 dengan 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan -1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Tambahkan -\frac{5}{2} pada \frac{1}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Faktor z^{2}-z+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Permudahkan.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$