Selesaikan 2y^2+y-21=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

Selesaikan untuk y

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2y^{2}+ay+by-21. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 1.

$$a=-6 b=7$$

Tulis semula 2y^{2}+y-21 sebagai \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right).

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

Faktorkan 2y dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim y-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan y-3=0 dan 2y+7=0.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 1 dengan b dan -21 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -21.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

Tambahkan 1 pada 168.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-1±13}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -1 pada 13.

$$y=\frac{12}{4}$$

Bahagikan 12 dengan 4.

$$y=3$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-1±13}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada -1.

$$y=-\frac{14}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Tambahkan 21 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Menolak -21 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

Tolak -21 daripada 0.

$$2y^{2}+y=21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

Bahagikan \frac{1}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

Tambahkan \frac{21}{2} pada \frac{1}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Permudahkan.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

Tolak \frac{1}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$