Selesaikan 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=-2$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Gantikan \frac{3y}{2}-1 dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Darabkan 4 kali \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Tambahkan 6y pada y.

$$7y-4=2A$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=2A+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Gantikan \frac{4+2A}{7} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Darabkan \frac{3}{2} kali \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Tambahkan -1 pada \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Permudahkan.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Tolak 8x+2y=4A daripada 8x-12y=-8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Tambahkan -12y pada -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Tambahkan -8 pada -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Gantikan \frac{4+2A}{7} dengan y dalam 4x+y=2A. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Tolak \frac{4+2A}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$