Selesaikan 2x-3y+5=0,4x+ky-2=0

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x-3y=-5$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{3y-5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4x+ky-2=0.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

Darabkan 4 kali \frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+ky-2=0$$

Tambahkan 6y pada ky.

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

Tambahkan -10 pada -2.

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(k+6\right)y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6+k.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

Gantikan \frac{12}{6+k} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

Darabkan \frac{3}{2} kali \frac{12}{6+k}.

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

Tambahkan -\frac{5}{2} pada \frac{18}{6+k}.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

Permudahkan.

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

Tolak 8x+2ky-4=0 daripada 8x-12y+20=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

Tambahkan -12y pada -2ky.

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

Tambahkan 20 pada 4.

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12-2k.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

Gantikan \frac{12}{6+k} dengan y dalam 4x+ky-2=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

Darabkan k kali \frac{12}{6+k}.

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

Tambahkan \frac{12k}{6+k} pada -2.

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

Tolak \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$