Selesaikan 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x-3y=-10$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Gantikan \frac{3y}{2}-5 dengan x dalam persamaan lain, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Darabkan 5 kali \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Tambahkan \frac{15y}{2} pada -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Tambahkan -25 pada 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Tambahkan 21 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{42}{13}$$

Gantikan \frac{42}{13} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan \frac{42}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Tambahkan -5 pada \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Permudahkan.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Tolak 10x-2y+8=0 daripada 10x-15y+50=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Tambahkan -15y pada 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Tambahkan 50 pada -8.

$$-13y+42=0$$

Tolak 42 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-13y=-42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Gantikan \frac{42}{13} dengan y dalam 5x-y+4=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Tambahkan -\frac{42}{13} pada 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Tolak \frac{10}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$