Selesaikan 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-6 b=5$$

Tulis semula 2x^{2}-x-15 sebagai \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-3=0 dan 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -1 dengan b dan -15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Tambahkan 1 pada 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±11}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

Bahagikan 12 dengan 4.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±11}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Menolak -15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

Tolak -15 daripada 0.

$$2x^{2}-x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Bahagikan -\frac{1}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Tambahkan \frac{15}{2} pada \frac{1}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$