Selesaikan 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Selesaikan untuk x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 2 untuk a, -1 untuk b dan -1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Selesaikan persamaan x=\frac{1±3}{4} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

Untuk hasil itu menjadi negatif, x-1 dan x+\frac{1}{2} perlulah mempunyai tanda yang bertentangan. Pertimbangkan kes apabila x-1 adalah positif dan x+\frac{1}{2} adalah negatif.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang x.

$$x\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila x+\frac{1}{2} adalah positif dan x-1 adalah negatif.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$