Selesaikan 2x^2-90x-675=0

$$2 x ^ { 2 } - 90 x - 675 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{15 \sqrt{15} + 45}{2} \approx 51.547375097$$

$$x=\frac{45-15\sqrt{15}}{2}\approx -6.547375097$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-90x-675=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -90 dengan b dan -675 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 2\left(-675\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 2\left(-675\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8\left(-675\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -675.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100+5400}}{2\times 2}$$

Tambahkan 8100 pada 5400.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{13500}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 13500.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±30\sqrt{15}}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -90 ialah 90.

$$x=\frac{90±30\sqrt{15}}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{90±30\sqrt{15}}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{90±30\sqrt{15}}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 90 pada 30\sqrt{15}.

$$x=\frac{30\sqrt{15}+90}{4}$$

Bahagikan 90+30\sqrt{15} dengan 4.

$$x=\frac{15\sqrt{15}+45}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{90±30\sqrt{15}}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 30\sqrt{15} daripada 90.

$$x=\frac{90-30\sqrt{15}}{4}$$

Bahagikan 90-30\sqrt{15} dengan 4.

$$x=\frac{45-15\sqrt{15}}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{15\sqrt{15}+45}{2} x=\frac{45-15\sqrt{15}}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-90x-675=0$$

Tambahkan 675 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-90x-675-\left(-675\right)=-\left(-675\right)$$

Menolak -675 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-90x=-\left(-675\right)$$

Tolak -675 daripada 0.

$$2x^{2}-90x=675$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-90x}{2}=\frac{675}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{2}\right)x=\frac{675}{2}$$

Bahagikan -90 dengan 2.

$$x^{2}-45x=\frac{675}{2}$$

Bahagikan -45 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{45}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{45}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{675}{2}+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{45}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{675}{2}+\frac{2025}{4}$$

Tambahkan \frac{675}{2} pada \frac{2025}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{3375}{4}$$

Faktor x^{2}-45x+\frac{2025}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{3375}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3375}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{15\sqrt{15}}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{15\sqrt{15}}{2}$$

Tambahkan \frac{45}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{15\sqrt{15}+45}{2} x=\frac{45-15\sqrt{15}}{2}$$