Selesaikan 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-14. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -3.

$$a=-7 b=4$$

Tulis semula 2x^{2}-3x-14 sebagai \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-7=0 dan x+2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -3 dengan b dan -14 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Tambahkan 9 pada 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -3 ialah 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{3±11}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 3 pada 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{14}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{3±11}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Bahagikan -8 dengan 4.

$$x=-2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Menolak -14 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Tolak -14 daripada 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Bahagikan 14 dengan 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Bahagikan -\frac{3}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Tambahkan 7 pada \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$