Selesaikan 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=3$$

$$x=9$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx+27. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -12.

$$a=-9 b=-3$$

Tulis semula x^{2}-12x+27 sebagai \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan -3 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-9 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-9=0 dan x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -24 dengan b dan 54 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Tambahkan 576 pada -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -24 ialah 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{24±12}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 24 pada 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Bahagikan 36 dengan 4.

$$x=9$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{24±12}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 12 daripada 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Bahagikan 12 dengan 4.

$$x=3$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=9 x=3$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Tolak 54 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Menolak 54 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Bahagikan -24 dengan 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Bahagikan -54 dengan 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Bahagikan -12 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -6. Kemudian tambahkan kuasa dua -6 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Kuasa dua -6.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Tambahkan -27 pada 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Faktor x^{2}-12x+36. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Permudahkan.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=9 x=3$$