Selesaikan 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Selesaikan untuk x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 28 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Tolak 28 daripada -12 untuk mendapatkan -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-20. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-5 b=4$$

Tulis semula x^{2}-x-20 sebagai \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-5=0 dan x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Menolak 28 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Tolak 28 daripada -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -2 dengan b dan -40 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Tambahkan 4 pada 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±18}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Bahagikan 20 dengan 4.

$$x=5$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±18}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 18 daripada 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Bahagikan -16 dengan 4.

$$x=-4$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=5 x=-4$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Menolak -12 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Tolak -12 daripada 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Bahagikan -2 dengan 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Bahagikan 40 dengan 2.

$$x^{2}-x=20$$

Bahagikan -1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Tambahkan 20 pada \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5 x=-4$$