Selesaikan 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -2 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Tambahkan 4 pada 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Bahagikan 2+2\sqrt{3} dengan 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{3} daripada 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Bahagikan 2-2\sqrt{3} dengan 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Menolak -1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Tolak -1 daripada 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Bahagikan -2 dengan 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Bahagikan -1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{1}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$