Selesaikan 2x^2-2x+15=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x + 15 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{29}i}{2}\approx 0.5+2.692582404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{29}i+1}{2}\approx 0.5-2.692582404i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-2x+15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -2 dengan b dan 15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 15}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-120}}{2\times 2}$$

Tambahkan 4 pada -120.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-116}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua -116.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{29}i}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{29}i}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{29}i}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{29}i}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 2i\sqrt{29}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{29}i}{4}$$

Bahagikan 2+2i\sqrt{29} dengan 4.

$$x=\frac{1+\sqrt{29}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{29}i}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{29} daripada 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{29}i+2}{4}$$

Bahagikan 2-2i\sqrt{29} dengan 4.

$$x=\frac{-\sqrt{29}i+1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1+\sqrt{29}i}{2} x=\frac{-\sqrt{29}i+1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x+15=0$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-2x+15-15=-15$$

Menolak 15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-2x=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=-\frac{15}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=-\frac{15}{2}$$

Bahagikan -2 dengan 2.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{2}$$

Bahagikan -1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

Tambahkan -\frac{15}{2} pada \frac{1}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{29}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{29}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{29}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{29}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{29}i}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1+\sqrt{29}i}{2} x=\frac{-\sqrt{29}i+1}{2}$$