Selesaikan 2x^2-19x-10=0

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=10$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-10. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -19.

$$a=-20 b=1$$

Tulis semula 2x^{2}-19x-10 sebagai \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right).

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

Faktorkan 2x dalam 2x^{2}-20x.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

Faktorkan sebutan lazim x-10 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-10=0 dan 2x+1=0.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -19 dengan b dan -10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

Tambahkan 361 pada 80.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 441.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -19 ialah 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{19±21}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 19 pada 21.

$$x=\frac{40}{4}$$

Bahagikan 40 dengan 4.

$$x=10$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{19±21}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 21 daripada 19.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Menolak -10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

Tolak -10 daripada 0.

$$2x^{2}-19x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

Bahagikan 10 dengan 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

Bahagikan -\frac{19}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{19}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{19}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{19}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

Tambahkan 5 pada \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

Tambahkan \frac{19}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$