Selesaikan 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2.75+0.661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2.75-0.661437828i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -11 dengan b dan 16 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Tambahkan 121 pada -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -11 ialah 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 11 pada i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{7} daripada 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

Menolak 16 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Bahagikan -16 dengan 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Bahagikan -\frac{11}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Tambahkan -8 pada \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Tambahkan \frac{11}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$