Selesaikan 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Selesaikan untuk x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Langkah Penyelesaian

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Kuasa dua 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Kira 11 dikuasakan 2 dan dapatkan 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x^{2}-5x} dikuasakan 2 dan dapatkan x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 121 dengan x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Tolak 121x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Gabungkan 76x^{2} dan -121x^{2} untuk mendapatkan -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Tambahkan 605x pada kedua-dua belah.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Gabungkan 120x dan 605x untuk mendapatkan 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 36 dan q membahagikan pekali pelopor 4. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-4$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 dengan x+4 untuk mendapatkan 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 9 dan q membahagikan pekali pelopor 4. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=9$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 dengan x-9 untuk mendapatkan 4x^{2}-20x-1. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 4 untuk a, -20 untuk b dan -1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Selesaikan persamaan 4x^{2}-20x-1=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Gantikan -4 dengan x dalam persamaan 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Permudahkan. Nilai x=-4 memuaskan persamaan.

$$72=72$$

Gantikan 9 dengan x dalam persamaan 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Permudahkan. Nilai x=9 memuaskan persamaan.

$$72=72$$

Gantikan \frac{5-\sqrt{26}}{2} dengan x dalam persamaan 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} tidak memuaskan persamaan.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Gantikan \frac{\sqrt{26}+5}{2} dengan x dalam persamaan 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} tidak memuaskan persamaan.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Senaraikan semua penyelesaian 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$