Selesaikan 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -8.

$$-1,8 -2,4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 7.

$$a=-1 b=8$$

Tulis semula 2x^{2}+7x-4 sebagai \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-1=0 dan x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 7 dengan b dan -4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

Tambahkan 49 pada 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±9}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -7 pada 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{2}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±9}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 9 daripada -7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Bahagikan -16 dengan 4.

$$x=-4$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Menolak -4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Tolak -4 daripada 0.

$$2x^{2}+7x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

Bahagikan 4 dengan 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

Bahagikan \frac{7}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Tambahkan 2 pada \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Tolak \frac{7}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$