Selesaikan 2x^2+5x-12=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 12 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-12. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=-3 b=8$$

Tulis semula 2x^{2}+5x-12 sebagai \left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-3\right)\left(x+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-3=0 dan x+4=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 5 dengan b dan -12 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Tambahkan 25 pada 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-5±11}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±11}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 11.

$$x=\frac{6}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±11}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada -5.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Bahagikan -16 dengan 4.

$$x=-4$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Menolak -12 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-12\right)$$

Tolak -12 daripada 0.

$$2x^{2}+5x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{12}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{12}{2}$$

Bahagikan 12 dengan 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=6$$

Bahagikan \frac{5}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Tambahkan 6 pada \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Tolak \frac{5}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$