Selesaikan 2x^2+5x+1<0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0$$

Selesaikan untuk x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x+1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 2 untuk a, 5 untuk b dan 1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

Selesaikan persamaan x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)<0$$

Untuk hasil itu menjadi negatif, x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} dan x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} perlulah mempunyai tanda yang bertentangan. Pertimbangkan kes apabila x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} adalah positif dan x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} adalah negatif.

$$x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang x.

$$x\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} adalah positif dan x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} adalah negatif.

$$x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$