Selesaikan 2x^2+32x-114=0

$$2 x ^ { 2 } + 32 x - 114 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-19$$

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x^{2}+16x-57=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-57. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=16 ab=1\left(-57\right)=-57$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -57.

$$-1,57 -3,19$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+57=56 -3+19=16$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 16.

$$a=-3 b=19$$

Tulis semula x^{2}+16x-57 sebagai \left(x^{2}-3x\right)+\left(19x-57\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(19x-57\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 19 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-3\right)+19\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(x+19\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-3=0 dan x+19=0.

$$x=3 x=-19$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}+32x-114=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 32 dengan b dan -114 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 2\left(-114\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 2\left(-114\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-8\left(-114\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -114.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+912}}{2\times 2}$$

Tambahkan 1024 pada 912.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1936}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 1936.

$$x=\frac{-32±44}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-32±44}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-32±44}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -32 pada 44.

$$x=\frac{12}{4}$$

Bahagikan 12 dengan 4.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-32±44}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 44 daripada -32.

$$x=-\frac{76}{4}$$

Bahagikan -76 dengan 4.

$$x=-19$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3 x=-19$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+32x-114=0$$

Tambahkan 114 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+32x-114-\left(-114\right)=-\left(-114\right)$$

Menolak -114 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+32x=-\left(-114\right)$$

Tolak -114 daripada 0.

$$2x^{2}+32x=114$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+32x}{2}=\frac{114}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{32}{2}x=\frac{114}{2}$$

Bahagikan 32 dengan 2.

$$x^{2}+16x=\frac{114}{2}$$

Bahagikan 114 dengan 2.

$$x^{2}+16x=57$$

Bahagikan 16 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 8. Kemudian tambahkan kuasa dua 8 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+16x+8^{2}=57+8^{2}$$

Kuasa dua 8.

$$x^{2}+16x+64=57+64$$

Tambahkan 57 pada 64.

$$x^{2}+16x+64=121$$

Faktor x^{2}+16x+64. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=121$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{121}$$

Permudahkan.

$$x+8=11 x+8=-11$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=-19$$