Selesaikan 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-90. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 3.

$$a=-12 b=15$$

Tulis semula 2x^{2}+3x-90 sebagai \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 15 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-6 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-6=0 dan 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 3 dengan b dan -90 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Tambahkan 9 pada 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±27}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -3 pada 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Bahagikan 24 dengan 4.

$$x=6$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±27}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 27 daripada -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Tambahkan 90 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Menolak -90 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Tolak -90 daripada 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Bahagikan 90 dengan 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Bahagikan \frac{3}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Tambahkan 45 pada \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Tolak \frac{3}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$