Selesaikan 2x^2+17x+21=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx+21. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 17.

$$a=3 b=14$$

Tulis semula 2x^{2}+17x+21 sebagai \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x+3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x+3=0 dan x+7=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 17 dengan b dan 21 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

Tambahkan 289 pada -168.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-17±11}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -17 pada 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-6}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-17±11}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada -17.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Bahagikan -28 dengan 4.

$$x=-7$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

Menolak 21 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+17x=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Bahagikan \frac{17}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{17}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{17}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{17}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

Tambahkan -\frac{21}{2} pada \frac{289}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

Tolak \frac{17}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$