Selesaikan 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

Selesaikan untuk r

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$r=-6$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2r^{2}+ar+br+54. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 21.

$$a=9 b=12$$

Tulis semula 2r^{2}+21r+54 sebagai \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right).

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

Faktorkan r dalam kumpulan pertama dan 6 dalam kumpulan kedua.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2r+9 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2r+9=0 dan r+6=0.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 21 dengan b dan 54 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 21.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

Tambahkan 441 pada -432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 9.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{-21±3}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -21 pada 3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$r=-\frac{9}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{-21±3}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 3 daripada -21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

Bahagikan -24 dengan 4.

$$r=-6$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Tolak 54 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

Menolak 54 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2r^{2}+21r=-54$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

Bahagikan -54 dengan 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

Bahagikan \frac{21}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{21}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{21}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{21}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

Tambahkan -27 pada \frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Permudahkan.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

Tolak \frac{21}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$