Selesaikan 2k^2-5k-3=0

$$2 k ^ { 2 } - 5 k - 3 = 0$$

Selesaikan untuk k

$$k=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$k=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2k^{2}+ak+bk-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -6.

$$1,-6 2,-3$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-6 b=1$$

Tulis semula 2k^{2}-5k-3 sebagai \left(2k^{2}-6k\right)+\left(k-3\right).

$$\left(2k^{2}-6k\right)+\left(k-3\right)$$

Faktorkan 2k dalam 2k^{2}-6k.

$$2k\left(k-3\right)+k-3$$

Faktorkan sebutan lazim k-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(k-3\right)\left(2k+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan k-3=0 dan 2k+1=0.

$$k=3 k=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2k^{2}-5k-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -5 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -5.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -3.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

Tambahkan 25 pada 24.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$k=\frac{5±7}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$k=\frac{5±7}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{5±7}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 7.

$$k=\frac{12}{4}$$

Bahagikan 12 dengan 4.

$$k=3$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{5±7}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada 5.

$$k=-\frac{2}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$k=-\frac{1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$k=3 k=-\frac{1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}-5k-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2k^{2}-5k-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Menolak -3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2k^{2}-5k=-\left(-3\right)$$

Tolak -3 daripada 0.

$$2k^{2}-5k=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2k^{2}-5k}{2}=\frac{3}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k=\frac{3}{2}$$

Bahagikan -\frac{5}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada \frac{25}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktor k^{2}-\frac{5}{2}k+\frac{25}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(k-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Permudahkan.

$$k-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} k-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$k=3 k=-\frac{1}{2}$$