Selesaikan 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Selesaikan untuk k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2k^{2}+ak+bk+7. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 14.

$$1,14 2,7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+14=15 2+7=9$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 9.

$$a=2 b=7$$

Tulis semula 2k^{2}+9k+7 sebagai \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Faktorkan 2k dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim k+1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan k+1=0 dan 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Menolak -7 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Tolak -7 daripada 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 9 dengan b dan 7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Tambahkan 81 pada -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{-9±5}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -9 pada 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Bahagikan -4 dengan 4.

$$k=-1$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{-9±5}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 5 daripada -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Bahagikan \frac{9}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{9}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{9}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{9}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Tambahkan -\frac{7}{2} pada \frac{81}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktor k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Permudahkan.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Tolak \frac{9}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$