Selesaikan 2(1+x)^2=242

$$2 ( 1 + x ) ^ { 2 } = 242$$

Selesaikan untuk x

$$x=10$$

$$x=-12$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{242}{2}$$

Bahagikan 242 dengan 2 untuk mendapatkan 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Tolak 121 daripada kedua-dua belah.

$$1+2x+x^{2}-121=0$$

Tolak 121 daripada 1 untuk mendapatkan -120.

$$-120+2x+x^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$x^{2}+2x-120=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+2x-120 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=2 ab=-120$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 2.

$$a=-10 b=12$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-10\right)\left(x+12\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-10=0 dan x+12=0.

$$x=10 x=-12$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{242}{2}$$

Bahagikan 242 dengan 2 untuk mendapatkan 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Tolak 121 daripada kedua-dua belah.

$$1+2x+x^{2}-121=0$$

Tolak 121 daripada 1 untuk mendapatkan -120.

$$-120+2x+x^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$x^{2}+2x-120=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-120. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=2 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 2.

$$a=-10 b=12$$

Tulis semula x^{2}+2x-120 sebagai \left(x^{2}-10x\right)+\left(12x-120\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(12x-120\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 12 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-10\right)+12\left(x-10\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-10 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-10\right)\left(x+12\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-10=0 dan x+12=0.

$$x=10 x=-12$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{242}{2}$$

Bahagikan 242 dengan 2 untuk mendapatkan 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Tolak 121 daripada kedua-dua belah.

$$1+2x+x^{2}-121=0$$

Tolak 121 daripada 1 untuk mendapatkan -120.

$$-120+2x+x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+2x-120=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 2 dengan b dan -120 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

Kuasa dua 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-120\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+480}}{2}$$

Tambahkan 4 pada 480.

$$x=\frac{-2±\sqrt{484}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 484.

$$x=\frac{-2±22}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-2±22}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -2 pada 22.

$$x=\frac{20}{2}$$

Bahagikan 20 dengan 2.

$$x=10$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-2±22}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 22 daripada -2.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Bahagikan -24 dengan 2.

$$x=-12$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=10 x=-12$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{242}{2}$$

Bahagikan 242 dengan 2 untuk mendapatkan 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$2x+x^{2}=121-1$$

Tolak 1 daripada 121 untuk mendapatkan 120.

$$2x+x^{2}=120$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x=120$$

Bahagikan 2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 1. Kemudian tambahkan kuasa dua 1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+2x+1^{2}=120+1^{2}$$

Kuasa dua 1.

$$x^{2}+2x+1=120+1$$

Tambahkan 120 pada 1.

$$x^{2}+2x+1=121$$

Faktor x^{2}+2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=121$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{121}$$

Permudahkan.

$$x+1=11 x+1=-11$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=10 x=-12$$