Selesaikan 2x^2-5x-18=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x-18 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-2$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-18. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-9 b=4$$

Tulis semula 2x^{2}-5x-18 sebagai \left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(2x-9\right)+2\left(2x-9\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-9 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-9=0 dan x+2=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -5 dengan b dan -18 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -18.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 2}$$

Tambahkan 25 pada 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{5±13}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±13}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 13.

$$x=\frac{18}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{18}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±13}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada 5.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Bahagikan -8 dengan 4.

$$x=-2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-5x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Menolak -18 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-18\right)$$

Tolak -18 daripada 0.

$$2x^{2}-5x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{18}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{18}{2}$$

Bahagikan 18 dengan 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=9$$

Bahagikan -\frac{5}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=9+\frac{25}{16}$$

Tambahkan 9 pada \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{13}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$