Selesaikan 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-40. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -11.

$$a=-16 b=5$$

Tulis semula 2x^{2}-11x-40 sebagai \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-8=0 dan 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -11 dengan b dan -40 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Tambahkan 121 pada 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -11 ialah 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{11±21}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 11 pada 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Bahagikan 32 dengan 4.

$$x=8$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{11±21}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 21 daripada 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Tambahkan 40 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Menolak -40 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Tolak -40 daripada 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Bahagikan 40 dengan 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Bahagikan -\frac{11}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Tambahkan 20 pada \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Tambahkan \frac{11}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$