Selesaikan 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 30 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Tolak 30 daripada -6 untuk mendapatkan -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-36. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 1.

$$a=-8 b=9$$

Tulis semula 2x^{2}+x-36 sebagai \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 9 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-4=0 dan 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Menolak 30 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Tolak 30 daripada -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 1 dengan b dan -36 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Tambahkan 1 pada 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±17}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -1 pada 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Bahagikan 16 dengan 4.

$$x=4$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±17}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 17 daripada -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Menolak -6 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Tolak -6 daripada 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Bahagikan 36 dengan 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Bahagikan \frac{1}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Tambahkan 18 pada \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Tolak \frac{1}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$