Selesaikan 2x^2+5x-817=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-817 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{43}{2} = -21\frac{1}{2} = -21.5$$

$$x=19$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-817. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=2\left(-817\right)=-1634$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -1634.

$$-1,1634 -2,817 -19,86 -38,43$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+1634=1633 -2+817=815 -19+86=67 -38+43=5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=-38 b=43$$

Tulis semula 2x^{2}+5x-817 sebagai \left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right).

$$\left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 43 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(x-19\right)+43\left(x-19\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-19 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-19\right)\left(2x+43\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-19=0 dan 2x+43=0.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 5 dengan b dan -817 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -817.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+6536}}{2\times 2}$$

Tambahkan 25 pada 6536.

$$x=\frac{-5±\sqrt{6561}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 6561.

$$x=\frac{-5±81}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-5±81}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±81}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 81.

$$x=\frac{76}{4}$$

Bahagikan 76 dengan 4.

$$x=19$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±81}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 81 daripada -5.

$$x=-\frac{86}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-86}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{43}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Tambahkan 817 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+5x-817-\left(-817\right)=-\left(-817\right)$$

Menolak -817 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-817\right)$$

Tolak -817 daripada 0.

$$2x^{2}+5x=817$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{817}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{817}{2}$$

Bahagikan \frac{5}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{817}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{817}{2}+\frac{25}{16}$$

Tambahkan \frac{817}{2} pada \frac{25}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{6561}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{6561}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6561}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{81}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{81}{4}$$

Tolak \frac{5}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$