Selesaikan 2x^2+3x-14=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x-14=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-14. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 3.

$$a=-4 b=7$$

Tulis semula 2x^{2}+3x-14 sebagai \left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-2\right)\left(2x+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-2=0 dan 2x+7=0.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 3 dengan b dan -14 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Tambahkan 9 pada 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-3±11}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±11}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -3 pada 11.

$$x=\frac{8}{4}$$

Bahagikan 8 dengan 4.

$$x=2$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±11}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada -3.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Menolak -14 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-14\right)$$

Tolak -14 daripada 0.

$$2x^{2}+3x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Bahagikan 14 dengan 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=7$$

Bahagikan \frac{3}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Tambahkan 7 pada \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Tolak \frac{3}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$