Selesaikan 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx-24. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 13.

$$a=-3 b=16$$

Tulis semula 2x^{2}+13x-24 sebagai \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 8 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-3=0 dan x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 13 dengan b dan -24 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Tambahkan 169 pada 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±19}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -13 pada 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±19}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 19 daripada -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Bahagikan -32 dengan 4.

$$x=-8$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Menolak -24 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

Tolak -24 daripada 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

Bahagikan 24 dengan 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Bahagikan \frac{13}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{13}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{13}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{13}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Tambahkan 12 pada \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Tolak \frac{13}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$