Selesaikan 19x^2-14x+4122=0

$$19 x ^ { 2 } - 14 x + 4122 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}\approx 0.368421053+14.724524928i$$

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}\approx 0.368421053-14.724524928i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 19 dengan a, -14 dengan b dan 4122 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

Kuasa dua -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

Darabkan -4 kali 19.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-76\times 4122}}{2\times 19}$$

Darabkan -76 kali 4122.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-313272}}{2\times 19}$$

Tambahkan 196 pada -313272.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-313076}}{2\times 19}$$

Ambil punca kuasa dua -313076.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

Nombor bertentangan -14 ialah 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

Darabkan 2 kali 19.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38} apabila ± ialah plus. Tambahkan 14 pada 2i\sqrt{78269}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{78269}i}{38}$$

Bahagikan 14+2i\sqrt{78269} dengan 38.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{78269} daripada 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{78269}i+14}{38}$$

Bahagikan 14-2i\sqrt{78269} dengan 38.

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

Tolak 4122 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$19x^{2}-14x+4122-4122=-4122$$

Menolak 4122 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$19x^{2}-14x=-4122$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$\frac{19x^{2}-14x}{19}=-\frac{4122}{19}$$

Membahagi dengan 19 membuat asal pendaraban dengan 19.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x=-\frac{4122}{19}$$

Bahagikan -\frac{14}{19} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{19}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{19} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{4122}{19}+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{19} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{4122}{19}+\frac{49}{361}$$

Tambahkan -\frac{4122}{19} pada \frac{49}{361} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{78269}{361}$$

Faktor x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{78269}{361}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{78269}{361}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{19}=\frac{\sqrt{78269}i}{19} x-\frac{7}{19}=-\frac{\sqrt{78269}i}{19}$$

Tambahkan \frac{7}{19} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$