Selesaikan 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 18x^{2}+ax+bx-5. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -9.

$$a=-15 b=6$$

Tulis semula 18x^{2}-9x-5 sebagai \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Faktorkan 3x dalam 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Faktorkan sebutan lazim 6x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 6x-5=0 dan 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 18 dengan a, -9 dengan b dan -5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Kuasa dua -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Darabkan -4 kali 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Darabkan -72 kali -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Tambahkan 81 pada 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Ambil punca kuasa dua 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Nombor bertentangan -9 ialah 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Darabkan 2 kali 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{9±21}{36} apabila ± ialah plus. Tambahkan 9 pada 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Kurangkan pecahan \frac{30}{36} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{9±21}{36} apabila ± ialah minus. Tolak 21 daripada 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{36} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Menolak -5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Tolak -5 daripada 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Membahagi dengan 18 membuat asal pendaraban dengan 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{-9}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Bahagikan -\frac{1}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Tambahkan \frac{5}{18} pada \frac{1}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$