Selesaikan 16x^2-5x+1=0

$$16 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{39}i}{32}\approx 0.15625+0.195156187i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i+5}{32}\approx 0.15625-0.195156187i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$16x^{2}-5x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 16 dengan a, -5 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 16}}{2\times 16}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 16}}{2\times 16}$$

Darabkan -4 kali 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-64}}{2\times 16}$$

Tambahkan 25 pada -64.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-39}}{2\times 16}$$

Ambil punca kuasa dua -39.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{39}i}{2\times 16}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{39}i}{2\times 16}$$

Darabkan 2 kali 16.

$$x=\frac{5±\sqrt{39}i}{32}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±\sqrt{39}i}{32} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada i\sqrt{39}.

$$x=\frac{5+\sqrt{39}i}{32}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±\sqrt{39}i}{32} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{39} daripada 5.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i+5}{32}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5+\sqrt{39}i}{32} x=\frac{-\sqrt{39}i+5}{32}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-5x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$16x^{2}-5x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$16x^{2}-5x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$\frac{16x^{2}-5x}{16}=-\frac{1}{16}$$

Membahagi dengan 16 membuat asal pendaraban dengan 16.

$$x^{2}-\frac{5}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Bahagikan -\frac{5}{16} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{32}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{32} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{16}x+\left(-\frac{5}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{5}{32}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{32} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{16}x+\frac{25}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{25}{1024}$$

Tambahkan -\frac{1}{16} pada \frac{25}{1024} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{16}x+\frac{25}{1024}=-\frac{39}{1024}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{16}x+\frac{25}{1024}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{32}\right)^{2}=-\frac{39}{1024}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{1024}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{32}=\frac{\sqrt{39}i}{32} x-\frac{5}{32}=-\frac{\sqrt{39}i}{32}$$

Tambahkan \frac{5}{32} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5+\sqrt{39}i}{32} x=\frac{-\sqrt{39}i+5}{32}$$