Selesaikan 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 16x^{2}+ax+bx-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 8.

$$a=-4 b=12$$

Tulis semula 16x^{2}+8x-3 sebagai \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4x-1=0 dan 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 16 dengan a, 8 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Kuasa dua 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Darabkan -4 kali 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Darabkan -64 kali -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Tambahkan 64 pada 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Ambil punca kuasa dua 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Darabkan 2 kali 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-8±16}{32} apabila ± ialah plus. Tambahkan -8 pada 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-8±16}{32} apabila ± ialah minus. Tolak 16 daripada -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Kurangkan pecahan \frac{-24}{32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Menolak -3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Tolak -3 daripada 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Membahagi dengan 16 membuat asal pendaraban dengan 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Bahagikan \frac{1}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Tambahkan \frac{3}{16} pada \frac{1}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Tolak \frac{1}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$