Selesaikan 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 16x^{2}+ax+bx-9. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 10.

$$a=-8 b=18$$

Tulis semula 16x^{2}+10x-9 sebagai \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Faktorkan 8x dalam kumpulan pertama dan 9 dalam kumpulan kedua.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-1=0 dan 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 16 dengan a, 10 dengan b dan -9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Kuasa dua 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Darabkan -4 kali 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Darabkan -64 kali -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Tambahkan 100 pada 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Ambil punca kuasa dua 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Darabkan 2 kali 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±26}{32} apabila ± ialah plus. Tambahkan -10 pada 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Kurangkan pecahan \frac{16}{32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±26}{32} apabila ± ialah minus. Tolak 26 daripada -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Kurangkan pecahan \frac{-36}{32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Menolak -9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Tolak -9 daripada 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Membahagi dengan 16 membuat asal pendaraban dengan 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{10}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Bahagikan \frac{5}{8} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{16}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{16} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{16} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Tambahkan \frac{9}{16} pada \frac{25}{256} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Tolak \frac{5}{16} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$