Selesaikan 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 15x^{2}+ax+bx+2. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 11.

$$a=5 b=6$$

Tulis semula 15x^{2}+11x+2 sebagai \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x+1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x+1=0 dan 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 15 dengan a, 11 dengan b dan 2 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Kuasa dua 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Darabkan -4 kali 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Darabkan -60 kali 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Tambahkan 121 pada -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Ambil punca kuasa dua 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Darabkan 2 kali 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-11±1}{30} apabila ± ialah plus. Tambahkan -11 pada 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{30} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-11±1}{30} apabila ± ialah minus. Tolak 1 daripada -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{30} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Menolak 2 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Membahagi dengan 15 membuat asal pendaraban dengan 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Bahagikan \frac{11}{15} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{11}{30}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{11}{30} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{11}{30} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Tambahkan -\frac{2}{15} pada \frac{121}{900} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Tolak \frac{11}{30} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$